Исторические задачи, в которых обнаруживается арифметическая прогрессия

Задача 1. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

 Задача 2. У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение: Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего

74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19608.

С точки зрения геометрической прогрессии имеем:

b1 =7

q =7

n=5

S= 

Задача 3.  ( Из сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина. )

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение: Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

Задача 4. Эта задача из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795).

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение: в1=1, в2=2, в3=4

Sn=655, 35

q=2, Sn=2n-1=65535

2n=65536

n=16

Задача 5. Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи.
Найдешь к решению ключи!
1+100? 2+99? 3+98?
4+97? 5+96?
Давным-давно один мудрец сказал,
Что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.